Решение неравенств с переменной под знаком модуля онлайн

Решение неравенств, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы

решение неравенств с переменной под знаком модуля онлайн

Онлайн калькулятор решения уравнений. Вы можете получить ответы решения сложных уравнений для того, чтобы проверить Ваши ответы. Под линейными понимаем уравнения, в которых переменная входит в уравнение линейно. Найти решение неравенства уравнение с модулями, пример поэтому при раскрытии модулей меняем знак на противоположный . Рассмотрим 4 основных метода решения неравенств с модулем. Все они так или иначе сводятся к избавлению от знака модуля.

Требуется решить неравенство вида: Зато этот переход учитывает абсолютно все возможные проблемы: В этом вся фишка модуля. Давайте решим парочку задач: Отметим их решения на параллельных числовых прямых: Пересечение множеств Пересечением этих множеств и будет ответ.

Это задание уже чуть посложнее. Для начала уединим модуль, перенеся второе слагаемое вправо: Но ещё раз напомню, что наша ключевая цель — грамотно решить неравенство и получить ответ.

решение неравенств с переменной под знаком модуля онлайн

Позже, когда вы в совершенстве освоите всё, о чём рассказано в этом уроке, можете сами извращаться как хотите: А мы для начала просто избавимся от двойного минуса слева: В этот раз выкладки будут посерьёзнее: Переходим к уравнению в первом неравенстве: Теперь разберёмся со вторым неравенством системы.

Там придётся применить теорему Виета: Опять же, поскольку мы решаем систему неравенств, нас интересует пересечение заштрихованных множеств: Это и есть ответ. Уединить модуль, перенеся все другие слагаемые в противоположную часть неравенства.

Решить это неравенство, избавившись от модуля по описанной выше схеме. В какой-то момент потребуется перейти от двойного неравенства к системе из двух самостоятельных выражений, каждое из которых уже можно решать отдельно. Наконец, останется лишь пересечь решения этих двух самостоятельных выражений — и всё, мы получим окончательный ответ. Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции.

И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. При этом варианты объединены квадратной скобкой, то есть перед нами совокупность двух требований. Обратите внимание ещё раз: Это принципиальное отличие от предыдущего пункта! Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда: Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: Разница между пересечением и объединением множеств В переводе на русский это означает следующее: Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.

Да ничего — всё то же. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств: К сожалению, корни там будут не оч: Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: И вот тут нас ждёт подстава.

решение неравенств с переменной под знаком модуля онлайн

От ответа на этот вопрос будет зависеть расстановка точек на числовых прямых и, собственно, ответ. Случай некрасивых корней Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств.

Решение неравенств с модулем

Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный и очень серьёзный урок. А мы идём.

решение неравенств с переменной под знаком модуля онлайн

Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения: Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет. Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни: Но это совсем другая история это как бы иррациональные уравненияпоэтому не будем сейчас в это углубляться.

Давайте лучше решим парочку задач: Сразу заметим две вещи: При строгом неровности края не включают. При нестрогое проверяют подстановкой. Графически решение будет иметь вид На третьем интервале получим Данное условие не дает решений на искомой областе. При значениях аргументов меньше этих точек подмодульные функции отрицательные, а при больших — положительные. Точки разбивают действительную ось на четыре интервала. Раскрываем модули согласно интервалов знакопостоянства и решаем неравенства.

Линейное неравенство с модулем. Пример 3

На основе этого получим Это условие показывает, что целый промежуток [3;4] будет удовлетворять неравенство с модулями. При раскрытии модулей их знак не меняем. Найденное условие в пересечении с интервалом дает следующее множество решений Поскольку неравенство решено на всех интервалах, то остается найти общее всех найденных значений x.

Решение неравенств с модулями

Решением будут два интервала На этом пример решен. Имеем неравенство с модулем от модуля. Такие неравенства раскрывают по мере вложенности модулей, начиная с тех, которые размещены глубже.

На основе этого раскрываем внутренний модуль и рассматриваем неравенство на каждом из интервалов. При меньших значениях она знакоположительная, при больших — отрицательная.

  • Неравенства с модулем. Новый взгляд на решение
  • Математика
  • Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Для этого стоит лишь провести проверку. Раскрывая модуль получим Данное условие в сечении с интервалом 1;6 дает пустое множество решений. Учитывая все выше изложенное, единственным решением неравенства с модулями будет следующий интервал.

Неравенства с модулями, содержащие квадратные уравнения Пример 4. Простой подстановкой минус единицы устанавливаем, что она меньше нуля на интервале -3;0 и положительная за его пределами.